Çarpım manifoldunun altmanifoldlarının geometrisi

Abstract

ÖZET Doktora tezi ÇARPIM MANİFOLDUNUN ALTMANİFOLDLARININ GEOMETRİSİ Mehmet ATÇEKEN İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı 105+vi sayfa 2002 Danışman: Prof. Dr. Sadık KELEŞ Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, bu çalışma boyunca kullanacağımız Riemann geometrisindeki bazı temel kavramlara ayrılmıştır. İkinci ve üçüncü bölümler çalışmanın orijinal bölümlerini oluşturmaktadır. İkinci bölümde Riemann çarpım manifoldunun Riemann eğrilik ve Riemann-Christoffel eğrilik tensörleri ile Riemann çarpan manifoldlarının Riemann eğrilik ve Riemann-Christoffel eğrilik tensörleri arasında bazı bağıntılar bulunmuş ve bunlarla ilgili çeşitli sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca Riemann çarpım manifoldunun ve bunun [1] de tanımlanan bir invaryant altmanifoldunun hemen hemen Riemann çarpım yapısına sahip olduğu gösterilmiş, Riemann çarpım manifoldunun invaryant altmanifoldunun vertical ve horizontal distribüsyonları ve bunların integral manifoldlarının özelikleri incelenmiştir. Ayrıca, Riemann çarpım manifoldundaki bir invaryant altmanifoldun normal vektör alanlarının, Riemann çarpım manifoldunun hemen hemen J-Riemann çarpım yapısı altındaki özelikleri(paralel, nongeodezik kesit, nondejenere kesit v.s.) incelenmiştir. Son bölümde ise Riemann çarpım manifoldunda bir invaryant altmanifoldun vertical ve horizontal distribüsyonlarının ortogonal distribüsyonların paralelliği, integrallenebilirliği ve bunların integral manifoldların eğrilik-invaryant altmanifold, pseudo umbilik altmanifold, total geodezik altmanifold ve total umbilik altmanifold olma durumları incelendi ve ikinci temel formları arasındaki bağıntılar verildi. ANAHTAR KELİMELER: Riemann Çarpım Manifoldu, Hemen Hemen Riemann Çarpım Yapısı, Riemann Çarpım Manifoldunun invaryant Altmanifoldu, Eğrilik-İnvaryant Altmanifold, Vertical ve Horizontal Distribüsyonlar, Ortogonal Distribüsyonlar.

ABSTRACT Ph. D. Thesis GEOMETRY OF SUBMANIFOLDS OF PRODUCT MANIFOLD Mehmet ATÇEKEN Inonu University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics 105+vi pages Supervisor: Prof. Dr. Sadık KELEŞ This thesis covers three chapters. In chapter I, we recall fundamental concepts and formulas in Riemannian geometry which will be used throughout the thesis. The last two chapters are original parts of this thesis. In second chapter, Some relations have been obtained in between the Riemannian cuvature tensor and the Riemannian-Christoffel curvature tensor of a Riemannian product manifold and the Riemannian curvature tensors and the Riemannian-Christoffel curvature tensor of the Riemannian factor manifolds, respectively, and some results have been given. Moreover, we have shown that a Riemannian product manifold and its an invariant submanifold have almost Riemannian product structure and we studied the properties of the vertical and the horizontal distributions of an invariant submanifold of Riemannian product manifold. We studied also the integral manifolds of invariant submanifold of Riemannian product manifold. HI Furthermore, properties of normal vector fields of an invariant submanifold of Riemannian product manifold under the almost J -Riemannian product structure have been investigated(parallel, nondejenere section, nongeodesic section i.e.,). In the last chapter, we studied the parallelism and the integrability of orthogonal distributions of vertical and horizontal distributions of an invariant submanifold in a Riemannian product manifold. We investigate also the conditions of being totally geodesic for the relations in between the curvature-invariant submanifold and pseudo umbilical submanifold. We studied also the relations in between the second fundamental forms of these submanifolds. KEYWORDS: Riemannian Product Manifold, Almost Riemannian Product Structure, Invariant Submanifold of Riemannian Product Manifold, Cuvature-Invariant Submanifold, Vertical and Horizontal Distributions, Orthogonal Distributions. IV