Korteweg-de Vries (KdV) denkleminin spilne baz fonksiyonları yardımıyla nümerik çözümleri

Abstract

ÖZET Yüksek Lisans Tezi KORTEWEG-de VRIES (KdV) DENKLEMİNİN SPLINE BAZ FONKSİYONLARI YARDIMIYLA NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ Muharrem ÖZLÜK İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı 64 + ix sayfa 2005 Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Turabi GEYİKLİ Korteweg-de Vries (KdV) denklemi farklı ï¬ ziksel sistemlerde karşılaşılan önemli bir nonlineer kısmi diferansiyel denklemdir. Bu yüksek lisans tezinde KdV denkleminin B-spline fonksiyonları yardımıyla sonlu eleman yöntemleri kullanılarak nümerik çözümleri incelendi. Tezin birinci bölümünde KdV denkleminin teorik altyapısı ele alındı.İkinci bölümde sonlu eleman yöntemleri, spline ve B-spline fonksiyonları, Galerkin ve Collocation yöntemleri ile KdV denkleminin korunum ilkeleri verildi. Son- raki bölümlerde KdV denkleminin Kuadratik ve Kübik B-spline fonksiyonları kullanılarak Galerkin yöntemiyle, Kuartik ve Kuintik B-spline fonksiyonları kullanılarak Collocation yöntemiyle nümerik çözümleri elde edildi. Sonuçlar i önceki araştırmacıların elde ettiği nümerik sonuçlarla karşılaştırıldı. Uygulanan yöntemlerin kararlılık analizleri von Neumann yöntemi ile yapıldı. Sonuç olarak B-spline fonksiyonları kullanılarak uygulanan Galerkin ve Collocation yöntemlerinin yeterince iyi sonuçlar verdiği görüldü. Bu nedenle diğer nonlineer kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerinde B-spline fonksiyonlarının kullanılması önerilmektedir. Anahtar Kelimeler : Korteweg-de Vries, KdV, Sonlu Eleman Yöntemi, B-Spline, Galerkin, Collocation. ii

ABSTRACT Master Thesis NUMERICAL SOLUTIONS OF THE KORTEWEG-de VRIES (KdV) EQUATION USING SPLINE BASE FUNCTIONS Muharrem ÖZLÜK, İnönü University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics 64 + ix pages 2005 Supervisor : Assist.Prof. Turabi GEYİKLİ The Korteweg-de Vries (KdV) equation is an important partial diï¬ er- ential equation which arises in the study of many physical systems. In this MSc. Thesis, numerical solutions of the KdV equation based on ï¬ nite element methods using B-spline functions are investigated. In the ï¬ rst chapter of this thesis, theoretical background of the KdV equation is discussed. In the second chapter, ï¬ nite element methods, spline and B-spline functions, Galerkin and Collocation methods and the conservation laws for the KdV equation are given. In the following chapters, numerical solutions of KdV equation are obtained with Galerkin and Collocation methods using Quadratic, Cubic, Quartic and Quintic B-spline functions. Computed results are compared with the numerical results given by previous authors. i The stability analysis of the numerical techniques based on von Neumann theory is given. As a result, Galerkin and Collocation methods with B-spline functions give adequately good results. So it is recommended that B-spline functions can be used for solving other nonlinear partial diï¬ erential equations. Keywords: Korteweg-de Vries, KdV, Finite Element Method, B-Spline, Galerkin, Collocation. ii