Harmonik morfizmlerin geometrisi üzerine

Abstract

ÖZET Yüksek Lisans Tezi HARMONİK MORFİZMLERİN GEOMETRİSİ ÜZERİNE Seleen YÜKSEL İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik AnaBilim Dalı 139+iv sayfa 2005 Danışmanlar: Prof. Dr. Sadık KELEŞ Doç. Dr. Bayram ŞAHİN Üç bölümden oluşan bu çalışmanın birinci bölümü diğer bölümlerin daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel kavramlara ayrılmıştır. Bu bölümde ayrıca Riemann manifoldları üzerinde hesaplamaların yapılabilmesi için gerekli gösterimler ve temel formüller ile bir Riemann manifoldu üzerinde Laplace denklemi ve çözümleri ele alınmıştır. İkinci bölüm zayıf konform dönüşümler, yatay zayıf konform dönüşümler ve konform foliasyonlara ayrılmıştır. Harmonik morfizmler, harmonik dönüşümleri de içeren geniş bir alanı kapsamaktadır. Bu nedenle üçüncü bölümde Riemann manifoldları arasında tanımlanan bir dönüşümün ikinci temel formu, tensiyon alanı, stres-enerji tensörü tarafından verilen conservation kuralı ve konform minimal kritik (branched) immersiyonlar incelenerek harmonik dönüşümlerin özellikleri ele alınmıştır. Daha sonra harmonik morfizmler tanıtılmıştır. Son olarak harmonik dönüşümler ile yatay zayıf konform dönüşümler arasındaki ilişkiyi belirleyen bir karakterizasyona yer verilmiştir. ANAHTAR KELİMELER : Laplasyan, zayıf konform dönüşüm, yatay zayıf konform dönüşüm, konform foliasyon, warped çarpım, harmonik dönüşüm, tensiyon alanı, stress-enerji tensörü, minimal kritik (branched) immersiyon, harmonik morfızm.

ABSTRACT M. Sc. Thesis ON GEOMETRY OF HARMONIC MORPHISMS Selcen YÜKSEL İnönü University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics 139+iv pages 2005 Supervisors: Prof. Dr. Sadık KELEŞ Assoc. Prof. Dr. Bayram ŞAHİN This thesis covers three chapters such a way that in the first chapter we give the basic concepts for the rest of the thesis that readers can easily understand. In this chapter we also discuss the notations and fundamental formulas required to do calculus on a Riemann manifold, Laplace's equation on a Riemann manifold and its solitions. In the second chapter weakly conformal mappings, horizontally weakly conformal mappings and conformal foliations are discussed. A harmonic morphism is a particular sort of harmonic mapping. So that in the third chapter we give some aspects of the theory of harmonic mappings which includes the second fundamental form and tension field, conservation law given by stress-energy and some basic facts on conformal minimal (branched) immersions. After then harmonic morphisms are introduced. Finally we investigated the relation between the harmonicity and horizontal weak conformal ity. KEYWORDS : Laplacian, weakly conformal map, horizontally weakly conformal map, conformal foliation, warped product, harmonic map, tension field, stress-energy tensor, minimal branched immersion, harmonic morphism. 11