Sonlu elemanlar yöntemi ile modifiye edilmiş eşit genişlikli dalga denkleminin sayısal çözümleri

Abstract

Bu doktora tezi beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde sonlu fark, varyasyonel, ağırlıklı kalan ve sonlu elemanlar gibi sayısal yöntemler ile ilgili genel bilgiler verildikten sonra spline ve B-spline baz fonksiyonlar hakkında temel kavramlar verildi. Ayrıca, tez boyunca sayısal çözümleri araştırılan Modified Equal Width wave (MEW) denklemi ve model problemler tananıtıldı. İkinci, üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümler bu tezin orijinal kısımlarını oluşturmaktadır. İkinci bölümde, MEW denkleminin sayısal çözümleri, kuadratik ve kübik B-spline fonksiyonlar kullanılarak Galerkin sonlu eleman yöntemi ile elde edildi. Bu yöntem Bölüm 1'de verilen iki model probleme uygulandı. Elde edilen sayısal sonuçlar literatürdeki mevcut sonuçlar ile karşılaştırılarak $I_{1},$ $I_{2}$ ve $I_{3}$ ile gösterilen korunum sabitleri ile $L_{2\text{ }}$ve $L_{\infty\text{ }}$hata normları tablolar halinde verildi. Üçüncü bölümde; lineer, kuadratik ve kübik B-spline fonksiyonlar kullanılarak Petrov-Galerkin sonlu eleman yöntemi ile MEW denkleminin sayısal çözümleri elde edildi. Bu yöntem Bölüm 1'de verilen iki model probleme uygulandı. Elde edilen sayısal sonuçlar literatürdeki mevcut sonuçlar ile karşılaştırılarak korunum sabitleri ile hata normları tablolar halinde verildi. Dördüncü bölümde; kuartik ve sektik B-spline fonksiyonlar kullanılarak Subdomain sonlu eleman yöntemi ile MEW denkleminin sayısal çözümleri elde edildi. Bu yöntem Bölüm 1'de verilen iki model probleme uygulandı. Elde edilen sayısal sonuçlar literatürdeki mevcut sonuçlar ile karşılaştırılarak korunum sabitleri ile hata normları tablolar halinde verildi. Beşinci bölümde; kübik, kuintik ve septik B-spline fonksiyonlar kullanılarak Kollokasyon sonlu eleman yöntemi ile MEW denkleminin sayısal çözümleri elde edildi. Bu yöntem Bölüm 1'de verilen üç model probleme uygulandı. Elde edilen sayısal sonuçlar literatürdeki mevcut sonuçlar ile karşılaştırılarak korunum sabitleri ile hata normları tablolar halinde verildi. MEW denkleminin sayısal çözümlerini elde etmek için kullanılan bütün yöntemler için kararlılık analizi yapıldı.

This Ph.D. thesis consists of five chapters. In the first chapter, after giving general information about the numerical methods such as finite difference, variatonal, weighted residual and finite elements method, fundamental concepts about spline and B-spline basis functions are given. Moreover, Modified Equal Width Wave (MEW) equation and model problems of which solutions are sought throughout the thesis are introduced. The second, third, fourth and fifth chapters constitute the orijinal parts of this thesis. In the second chapter, numerical solutions of the MEW equation are obtained by Galerkin finite element method with quadratic and cubic B-spline functions. This method is applied to two model problems given in Chapter 1. The obtained numerical results are compared with existing results in the literature and the invariants denoted by $I_{1},$ $I_{2}$ and $I_{3}$ and the error norms $L_{2\text{ }}$and $L_{\infty\text{ }}$are given in the form of tables. In the third chapter, numerical solutions of the MEW equation are obtained by Petrov-Galerkin finite element method with linear,quadratic and cubic B-spline functions. This method is applied to two model problems given in Chapter 1. The obtained numerical results are compared with existing results in the literature and the invariants and the error norms are given in the form of tables. In the fourth chapter, numerical solutions of the MEW equation are obtained by Subdomain finite element method with quartic and sextic B-spline functions. This method is applied to two model problems given in Chapter 1. The obtained numerical results are compared with existing results in the literature and the invariants and the error norms are given in the form of tables. In the fifth chapter, numerical solutions of the MEW equation are obtained by Collocation finite element method with cubic, quintic and septic B-spline functions. This method is applied to three model problems given in Chapter 1. The obtained numerical results are compared with existing results in the literature and the invariants and the error norms are given in the form of tables. Stability analysis has been made for all the methods used to obtain the numerical solutions of the MEW equation.