Küme değerli fonksiyon uzayları üzerindeki operatörler ve bazı uygulamaları

Abstract

"Küme Değerli Fonksiyon Uzayları Üzerindeki Operatörler ve Bazı Uygulamaları" isimli bu tez çalışmasının ilk bölümünde interval analizi ile ilgili literatür özeti verilmiştir. Ayrıca bu çalışmanın uygulama alanlarından bahsedilmiştir. İkinci bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teoremler verilmiştir. Ayrıca 1≤p<∞ olmak üzere L^{p}(R) fonksiyon uzayları ve bu uzayların bazı önemli özellikleri incelenmiştir. Daha sonra ise sinyal işlemenin bazı temel kavramları sunulmuştur. Üçüncü bölümde küme-değerli dönüşümlerin ölçülebilirliği, sürekliliği ve Aumann integralinden bahsedilmiştir. Dördüncü bölümde quasilineer uzay, quasilineer operatör ve quasilineer iç çarpım uzayları tanıtılmış ve bu uzaylarla ilgili temel sonuçlar verilmiştir. Beşinci bölümde ilk olarak interval sinyal kavramı tanıtılmış ve kompleks interval tanımı verilmiştir. Daha sonra kompleks intervallerin oluşturduğu uzayın quasilineer uzay yapısına sahip olduğu gösterilmiştir. Ayrıca bu uzayın bazı karakteristik özellikleri incelenmiştir. Son olarak da interval sinyal kavramı ile ilgili bir uygulama verilmiştir. Altıncı bölümde reel sayılar kümesinden kompleks sayıların tüm kompakt- konveks alt kümelerinin ailesine tanımlı ve normlarının p-inci kuvveti integrallenebilen küme-değerli dönüşümlerin uzayı olan 1≤p<∞ olmak üzere L^{p}(R,Ω(C)) uzayları tanıtılmıştır. Ayrıca Aumann integral yardımıyla L²(R,Ω(C)) uzayı üzerinde bir iç çarpım tanımlanmış ve bu uzayın bir Hilbert quasilineer uzay olduğu gösterilmiştir. Daha sonra L²(R,Ω(C)) uzayı üzerindeki öteleme, genişletme ve değiştirme operatörleri verilmiştir. Yedinci ve son bölümde öncelikle L¹(R,Ω(C)) uzayı üzerinde Fourier dönüşümü tanımlanmış ve daha sonra bu tanım L²(R,Ω(C)) uzayına genişletilmiştir. Son olarak bir interval sinyalin Fourier dönüşümüne ilişkin bir uygulamaya yer verilmiştir.

In the first chapter of this study entitled "The Operators on the Set Valued Function Spaces and Some Applications " a summary of the literature related to the interval analysis is given. Further, the application areas of this study are presented. In the second chapter, some fundametal definitions and theorems used in the next chapter are given. Morever, the spaces L^{p}(R),1≤p<∞ and some important properties of these spaces ara analyzed. Next, the basic concept of the signal processing are presented. In the third chapter, the measurability, continuity and Aumann integral of the set-valued functions are mentioned. In the fourth chapter, quasilinear spaces, quasilinear operators and quasilinear inner product spaces are introduced. Also, some basic results related to these spaces are given. In the fifth chapter, first the notion of interval signal is introduced and the definition of a complex interval is given. Then, it is shown that the space of the complex intervals has the quasilinear space structure. Further, the characteristical properties of this space are examined. Last, an application with respect to the notion of interval signal is given. In the sixth chapter, the spaces L^{p}(R,Ω(C)),1≤p<∞ that are defined from the set of real numbers to the space of all compact-convex subsets of complex numbers for which the pth power of their norm is integrable are investigated. Further, an inner-product on L²(R,Ω(C)) is defined by the aid of Aumann integral and it is shown that L²(R,Ω(C)) is a Hilbert quasilinear space. Next, translation, modulation and dilation operators on the space L²(R,Ω(C)) are given. In the seventh and last chapter, primarily Fourier transform on the space L¹(R,Ω(C)) is described. After the notion of the Fourier transform is expanded to the space L²(R,Ω(C)). Finally, an application regarding the Fourier transform of an interval signal is given.