2-boyutlu lineer olmayan coupled burgers' denklemi için sonlu fark yaklaşımları

Abstract

Bu yüksek lisans tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır. Tezin giriş bölümünde, bu tezde göz önüne alınacak 2-boyutlu coupled Burgers' denkleminin yapısı hakkında kısaca bahsedildikten sonra bu çalışmanın amacı hakkında ön bilgi verildi. İkinci bölümde, tezde kullanılacak olan açık (explicit), kapalı (implicit) ve Crank-Nicolson klasik sonlu fark yöntemleri anlatıldıktan sonra bu yöntemlerin ısı iletim denklemine uygulanması ile elde edilen fark şemaları örnek uygulama olarak verildi. Üçüncü bölümde, 2-boyutlu coupled Burgers' denkleminin literatür taraması ayrıntılı olarak verildikten sonra farklı başlangıç ve sınır şartlarına sahip üç model problem tanıtıldı. Ayrıca bu bölümde nümerik şemaların doğruluk ve tutarlılığını ölçmede kullanılacak L₂ ve L_{∞} hata normları verildi. Dördüncü bölümde, açık, kapalı ve Crank-Nicolson klasik sonlu fark yöntemlerinin üç model probleme uygulanmasıyla elde edilen şemalar verildikten sonra bu şemalar yardımıyla model problemlerin nümerik çözümleri elde edildi. Elde edilen nümerik sonuçların mevcut tam çözümlerle ve literatürdeki diğer sonuçlarla karşılaştırılması tablolar halinde sunuldu. Ayrıca tam çözümleri mevcut olan model Problem 1 ve Problem 3 için hesaplanan L₂ ve L_{∞} hata normları tablolarda gösterildi. Beşinci bölüm bu tezin esas bölümünü oluşturmaktadır. Bu bölümde, 2-boyutlu coupled Burgers' denklemindeki lineer olmayan UU_{x}, VU_{y}, UV_{x} ve VV_{y} terimleri yerine Rubin-Graves rgl tipi bir lineerleştirme tekniğinin uygulanmasıyla elde edilen sonlu fark şemaları kullanılarak model problemlerin nümerik çözümleri bulundu. Bulunan nümerik çözümler mevcut tam çözümlerle ve literatürdeki diğer sonuçlarla karşılaştırıldı. Aynı zamanda L₂ ve L_{∞} hata normları hesaplandı. Ayrıca Problem 1 ve Problem 3 için hem nümerik hem de tam çözümler grafiksel olarak gösterilirken Problem 2 için yalnızca nümerik sonuçların grafikleri verildi. Son olarak altıncı bölümde, tam çözümleri mevcut olan Problem 1 ve Problem 3 için tezin dördüncü bölümünde açık, kapalı ve Crank-Nicolson yöntemleri ve beşinci bölümünde Rubin-Graves tipi lineerleştirme tekniğinin uygulanmasıyla hesaplanan L₂ ve L_{∞} hata normları kendi içerisinde karşılaştırıldı.

This master thesis consists of six chapters. In the introductory chapter of the thesis, preliminary information was given about the purpose of this study after briefly mentioning the structure of the 2-dimensional coupled Burgers' equation to be considered in this thesis. In the second chapter, explicit, implicit and Crank-Nicolson classical finite difference methods to be used in the thesis are explained and then the difference schemes obtained by applying these methods to the heat transfer equation are given as a sample application. In the third chapter, the literature search of the 2-dimensional coupled Burgers' equation is described in detail, then three model problems with different initial and boundary conditions are presented. In addition, L₂ and L_{∞} error norms are used in this section to measure the accuracy and consistency of numerical schemas. In the fourth chapter, the schematics obtained by applying three model probing methods of explicit, implicit and Crank-Nicolson classical finite difference methods are given and then numerical solutions of problems are obtained with these schemes. The numerical results obtained were presented in tabular form, comparing with the available full solutions and other results in the literature. In addition, theL₂ and L_{∞} error norms calculated for model Problem 1 and Problem 3 having exact solutions are shown in the tables. The fifth chapter forms the main part of this thesis. In this section, a linearization technique of the Rubin-Graves rgl type instead of the nonlinear UU_{x}, VU_{y},UV_{x} and VV_{y} terms in the 2-Dimensional Coupled Burgers' Numerical solutions of the model problems were obtained by using the finite difference schemes. The numerical solutions obtained were compared with the existing complete solutions and with the other results in the literature. At the same time, L₂ and L_{∞} error norms were calculated. In addition, for Problem 1 and Problem 3 both numerical and complete solutions are shown graphically, whereas for Problem 2 only numerical results are plotted. Lastly, in the sixth chapter, explicit and implicit and Crank-Nicolson methods in the fourth section of the thesis for Exact Problems 1 and 3, and L₂ and L_{∞} error norms calculated by applying the Rubin-Graves type linearization technique in the fifth section are compared within themselves.