Burgers tipi denklemlerin trigonometrik B-spline kollokasyon sonlu eleman yöntemiyle nümerik çözümleri

Abstract

Beş bölümden oluşan bu yüksek lisans tezinin birinci bölümünde, tezde göz önüne alınan Burgers denkleminin tarihçesi hakkında kısaca bilgi verildikten sonra tezin amacından bahsedildi. İkinci bölümde, tezde kullanılan sonlu eleman yöntemleri, kollokasyon yöntemi ve kübik trigonometrik B-spline fonksiyonlar konularında bilgiler verildi. Üçüncü bölümde örnek bir uygulama olarak ısı denkleminin kübik trigonometrik B-spline kollokasyon yöntemi ile nümerik şeması elde edildikten sonra farklı başlangıç ve sınır şartları ile verilen iki model problem için hesaplanan nümerik sonuçlar çizelgeler ve grafikler halinde sunuldu. Dördüncü bölümde, ilk olarak Burgers denkleminin kısa bir literatür taraması sunulduktan sonra denklemle birlikte göz önüne alınan farklı başlangıç ve sınır şartları ile verilen dört model problem tanıtıldı. Daha sonra denklemdeki UUx lineer olmayan terimi yerine dört farklı lineerleştirme tekniği kullanılarak kübik trigonometrik B-spline kollokasyon yöntemi ile nümerik şemalar elde edildi. Elde edilen bu nümerik şemalar kullanılarak sunulan model problemlerin nümerik çözümleri hesaplandı ve bu nümerik çözümler mevcut tam çözüm ile literatürdeki farklı çalışmalarda sunulan sonuçlarla çizelgeler ve grafikler yardımıyla karşılaştırıldı. Ayrıca nümerik şemaların kararlılık analizleri benzer olacağından sadece LİN-1 ile elde edilen şemanın kararlılık analizi von Neumann yöntemiyle incelendi. Son bölüm olan beşinci bölümde, dört farklı lineerleştirme tekniğinin model problemlere uygulanması ile elde edilen sonuçlar kendi içerisinde karşılaştırılarak değerlendirildi.

In the first chapter of this master's thesis, which consists of five chapters, after giving brief information about the history of Burgers equation considered in the thesis, the purpose of the thesis is mentioned. In the second chapter, information about finite element methods used in the thesis, collocation method and cubic trigonometric B-spline functions are given. In the third chapter, after obtaining the numerical scheme of the heat equation with the cubic trigonometric B-spline collocation method as an exemplary application, the numerical results calculated for the two model problems given with different initial and boundary conditions are presented in tables and graphs. In the fourth chapter, after a brief literature review of the Burgers equation is presented, four model problems given with different initial and boundary conditions are introduced with the equation. Then, numerical diagrams were obtained by using cubic trigonometric B-spline collocation method by using four different linearization techniques instead of nonlinear term UUx in the equation. Using these numerical schemes, the numerical solutions of the presented model problems were calculated and these numerical solutions were compared with the current full solution and the results presented in different studies in the literature with the help of charts and graphs.In addition, since the stability analysis of the numerical schemes would be similar, the stability analysis of the scheme obtained only with LIN-1 is examined by von Neumann method. In the fifth chapter, which is the last chapter, the results obtained by applying four different linearization techniques to model problems are compared and evaluated.