Yakın yaklaşım uzaylarında cebirsel yapılar

Abstract

Doktora tezi olarak hazırlanan bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; sonraki bölümlerin daha iyi bir şekilde anlaşılabilmesi için yaklaşımlı kümeler, yakın kümeler, temel yaklaşım uzayları ve yakın yaklaşım uzayları ile ilgili tanım ve teoremler verildi. Ayrıca, bu bölümün son kısmı tanımsal tabanlı küme işlemlerine ayrıldı. İkinci bölümde; yakın yaklaşım uzaylarında yarı gruplar (yakınlık yarı grupları) incelendi. Bu bölümde, tam ayırt edilemezlik bağıntısı kavramına ve yakın yaklaşım uzaylarında alt ve üst yaklaşımların bazı özelliklerine yer verildi. Yakın yaklaşım uzaylarında bir kümenin üst yaklaşımı dikkate alınarak, yakınlık yarı grupları ve yakınlık yarı gruplarının yakınlık idealleri çalışıldı. Üçüncü bölümde; yakın yaklaşım uzaylarında tek işlemli cebirsel yapılardan biri olan yakınlık grupları araştırıldı. Bu bölümün ilk kısımlarında yakınlık grupları örnekler verilerek incelendi. Alt yakınlık gruplarının ve normal alt yakınlık gruplarının nın bazı temel özellikleri ele alındı. Yakınlık grupları dikkate alınarak, zayıf kalan sınıfları tanımlandı ve normal alt yakınlık gruplarına ihtiyaç duymaksızın zayıf kalan sınıflarının yakınlık gruplarının varlığı için gerekli şartlar araştırıldı. Son kısımda ise yakınlık grup homomorfizmaları ve yakınlık grup homomorfizmaları ile ilgili bazı teoremlere yer verildi. Dördüncü bölümde; iki işlemli yakınlık cebirsel yapılarından olan yakınlık halkaları incelendi. Bu bölümde, yakınlık halkaları ve yakınlık halkalarının yakınlık idealleri örneklerle birlikte verildi. Bir yakınlık halkası üzerinde zayıf eşdeğerlik bağıntısı ve zayıf eşdeğerlik bağıntısının yakınlık halkalarında belirttiği zayıf kalan sınıfları tanımlandı. Zayıf kalan sınıflarının kümesinin, ideal yapısına gerek kalmaksızın yakınlık halkası olması için gereken şartlar araştırıldı. Bu bölümün son kısmında ise yakınlık halkaları arasında tanımlanan yakınlık halka homomorfizması kavramı verilerek; yakınlık halka homomorfizmalarının bazı temel özellikleri incelendi. Son olarak, kısıtlanmış yakınlık halka homomorfizması kavramı ve bu kavramlar yardımı ile yakınlık halkaları için temel yakınlık homomorfizma teoremi ifade edilip, ispatlandı.

This study which is designed as a philosophy doctoral thesis covers four chapters. In the first chapter, some basic concepts such as rough sets, near sets, fundamental approximation spaces and nearness approximation spaces were given for the rest of the thesis that readers can easily understand. In the last section of this chapter, description based set operators were also given. Second chapter is devoted to the nearness semigroups. In this chapter, complete indiscernibility relation and some properties of lower and upper approximations on nearness approximation spaces were obtained. Nearness semigroups and nearness ideals of nearness semigroups were studied considering the upper approximation of a nonempty set on nearness approximation spaces. In the third chapter, nearness groups were investigated which are one of the algebraic stuructures that has only one binary operation on nearness approximation space. In the first section of this chapter, nearness groups were studied with some examples. Some basic properties of nearness subgroups and nearness normal subgroups were given. Weak cosets were introduced taking into consideration nearness groups and necessary conditions were investigated for the existence of the nearness groups of weak cosets without use of nearness normal subgroups. In the last section of this chapter, nearness group homomorphisms and some results related to the nearness group homomorphisms were given. In the last chapter, nearness rings were investigated which are the nearness algebraic sturucture that have two binary operations. Also in this chapter, nearness rings and nearness ideals of nearness rings were studied by giving some examples. Weak equivalence relation on nearness ring and weak cosets that determined by weak equivalence relation on nearness ring were defined. Necessary conditions were obtained for the existence of the nearness rings of weak cosets without using nearness ideals. In the last section of this chapter, nearness ring homomorphisms and some results related to the nearness ring homomorphisms were investigated. Finally, concept of restricted nearness homomorphism was introduced and fundamental nearness ring homomorphism theorem was obtained by using this concept.