Semi-Riemannian uzaylarında bazı özel eğrilerin geometrisi

Abstract

Bu çalışma dört bölümden oluşmuştur. Birinci bölüm temel kavramlara ayrılmıştır. İkinci bölümde R^4-1 uzayında yeni bir Bertrand eğrisi tanımı yapıldıktan sonra bu tanıma bağlı kalınarak Minkowski-4 uzayındaki null bir eğrinin hangi şartlar altında bir Bertrand eğrisi olduğu araştırıldı.Daha sonra R^5-1 uzayındaki null küresel eğriler eğrilik fonksiyonları yardımıyla karakterize edildi. Bu bölümde son olarak R^3-1 ve R^4-1 uzaylarındaki Bertrand eğrilerinin açık bir şekilde sınıflandırılması yapıldı. Üçüncü bölümde, ikinci bölümdeki Bertrand eğrisi fikri tekrar kullanılarak R^4-1 uzayındaki bir spacelike eğrinin (2-dejenere eğri) hangi şartlar altında bir Bertrand eğrisi olduğu incelendi. Son bölümde iki indeksli ve düşük boyutlu pseudo-Öklid uzaylarındaki null Bertrand eğrileri ve n-boyutlu ve iki indeksli pseudo-Öklid uzaylarındaki null küresel eğriler incelendi. Ayrıca R^6-2 uzayındaki null bir eğrinin evalütü ve spacelike bir eğrinin involütü tanımlanıp, düzlemsel bir eğri için evalüt ve involüt kavramları arasındaki ilişkinin bu eğriler içinde geçerli olduğu görüldü.

This work consists of four chapters. In the first chapter, the basic concepts of differential geometry relating to the subjects in the main chapters of this thesis are introduced. In the second chapter, a new idea of Bertrand curves is presented. Abiding by this idea the conditions are investigated for a null curve to be a Bertrand curve. After that, null spherical curves in R^5-1 are characterized by their curvature functions. Finally in this chapter, we obtained a classification of Bertrand curves in R^3-1 and R^4-1. In the third chapter, by using the same notion of Bertrand curve in the second chapter, we established the conditions for a spacelike curve in R^4-1 so that it would be a Bertrand curve. In the last chapter, null Bertrand curves in a low dimensional pseudo-Euclidean space of index two and null spherical curves in R^n-2 are determined. After defining the evolute of a null curve and the involute of a spacelike curve in R^6-2, a correspondence between them which is similar to that between the plane evolute and the involute is shown.