Hareketli sınır değer problemlerinin nümerik çözümleri

Abstract

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, sonlu fark ve sonlu eleman yöntemleri genel hatlarıyla birlikte verildikten sonra spline fonksiyonlar, B-spline baz fonksiyonları ve Von-Neumann kararlılık analizi yöntemi verildi. İkinci bölümde, Stefan problemleri genel olarak tanıtıldıktan sonra farklı başlangıç ve sınır koşullarıyla birlikte göz önüne alınan altı problem, varsa tam çözümleriyle birlikte ele alındı. birlikte ele alındı. Üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümler bu tezin orijinal kısımlarını oluşturmaktadır. Üçüncü bölümde, variable space grid yöntemi üzerine kurulu kollokasyon sonlu eleman yöntemi kübik B-spline baz fonksiyonları kullanılarak oluşturuldu. Yöntem, altı farklı probleme uygulanarak sıcaklık dağılımı, hareketli sınırın yeri ve hızı için nümerik çözümler elde edildi. Elde edilen sonuçlar, tam çözüm ve literatürdeki mevcut nümerik çözümlerle karşılaştırıldı ve hata normları verildi. Ayrıca oluşturulan sonlu eleman şemasının kararlılığı Von-Neumann kararlılık analizi yöntemi ile incelendi. Dördüncü bölümde, boundary immobilisation yöntemi üzerine kurulu kollokasyon sonlu eleman yöntemi kübik B-spline baz fonksiyonları kullanılarak oluşturuldu. Yöntem, altı farklı probleme uygulanarak sıcaklık dağılımı, hareketli sınırın yeri ve hızı için nümerik çözümler elde edildi. Bulunan sonuçlar, tam çözüm ve literatürdeki mevcut nümerik çözümlerle karşılaştırıldı ve hata normları verildi. Ayrıca oluşturulan sonlu eleman şemasının kararlılığı Von-Neumann kararlılık analizi yöntemi ile incelendi. Beşinci bölümde, isotherm migration yöntemi üzerine kurulu kollokasyon sonlu eleman yöntemi kübik B-spline baz fonksiyonları kullanılarak oluşturuldu. Isotherm migration metodunun direkt olarak kullanılamadığı üç problem için uygun bir dönüşüm kullanılarak yöntem, dört farklı probleme uygulandı. İzoterm (eşsıcaklık) yerleri, hareketli sınırın yeri ve hızı için elde edilen nümerik çözümler tam çözüm ve literatürdeki mevcut nümerik çözümlerle karşılaştırıldı ve hata normları verildi. Altıncı bölümde, üçüncü dördüncü ve beşinci bölümlerde elde edilen nümerik sonuçlar değerlendirildi.

This thesis consists of six chapters. In the first chapter, after giving finite difference and finite element methods with general lines, spline functions, B-spline bases functions and Von-Neumann stability analysis method are presented. In the second chapter, after introducing the Stefan problems generally, six problems which are considered with different initial and boundary conditions have been analyzed with their existing exact solutions. The third, fourth and fifth chapters of this thesis make up its original parts. In the third chapter, collocation finite element method based on variable space grid method is constructed using cubic B-spline bases functions. Numerical results for temperature distribution, the position and velocity of moving boundary are obtained by applying the method to six different problems. The obtained numerical results are compared with the exact solutions and the other numerical results existing in the literature and the error norms are given. Also stability analysis of generated finite element methods are investigated with Von-Neumann stability analysis method. In the fourth chapter, collocation finite element method based on boundary immobilisation method is constructed using cubic B-spline bases functions. Numerical results for temperature distribution, the position and velocity of moving boundary are obtained by applying the method to six different problems. The obtained numerical results are compared with the exact solutions and the other numerical results existing in the literature and the error norms are given. Also stability analysis of generated finite element methods are investigated with Von-Neumann stability analysis method. In the fifth chapter, collocation finite element method based on isotherm migration method is constructed using cubic B-splines. For the three problems which isotherm migration method can't be used directly, by using a suitable transformation, the method is applied to four different problems. Numerical solutions obtained for the locations of isotherms, the position and velocity of moving boundary are compared with the exact solutions and the other numerical results existing in the literature and the error norms are given. In the sixth chapter, the numerical results obtained in the third, fourth and fifth chapters are evaluated.