Tensör çarpım immersiyonlarının geometrisi

Abstract

Herhangi iki diferensiyellenebilir manifolddan Öklid uzaylar içerisine tanımlı iki immersiyonun tensör çarpım dönüşümünün, çarpım manifoldunun bir immersiyonu olması için gerek ve yeter şart bu immersiyonlardan en az birinin transversal olması ve bu immersiyonlardan her ikisinin de görüntü kümelerinin, Öklid uzayların orijinle- rini ihtiva etmemesidir. Bu koşul altında göz önüne alınan iki immersiyonun tensör çarpım immersiyonları genel anlamda ve bazı özel durumlar için çeşitli yazarlar tarafından irdelenmiştir. Bu çalışmada, ilk olarak genel durumun özet bir açıklaması yapılmıştır. Ardından, Öklid uzay içerisindeki bir yüzey ile Öklid düzlem içerisindeki bir eğrinin tensör çarpımları göz önüne alınarak, bunlardan minimal, pseudo-umbilik, invaryant ve anti-invaryant olanları sınıflandırılmıştır. Aynı zamanda; çarpım manifoldunun fak- törlerinden birinin, çarpım manifoldunun bir total jeodezik alt manifoldu olması için bir gerek ve yeter koşul tesis eden bir sonuç da verilmiştir. Bir sonraki bölümde, Öklid uzaydaki bir yüzey ile Lorentz düzlemdeki (yer vektörü nondejenere olan) bir nondejenere eğrinin tensör çarpımları göz önüne alın- mıştır. Bu şekildeki tensör çarpımlardan minimal, invaryant ve anti-invaryant olanla- rı sınıflandırılmıştır. Bu problem afin diferensiyel geometri açısından da ele alınarak, aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. İki merkezil afin hiperyüzey immersiyonunun tensör çarpım immersi- yonunun bir merkezil eşafin immersiyon olması için gerek ve yeter şart bu immersiyon- ların her ikisininde nondejenere olmasıdır. İki afin düzlemsel eğrinin tensör çarpımı bir immersiyon ise, bu immersiyon R^4 ün bir pür reel 2-yüzeyini belirler.

Tensor product map of two immersions from different manifolds into Euclidean spaces is an immersion of the product manifold if and only if at least one of the immersions is transversal and both the images of the immersions do not contain the origins of the Euclidean spaces. The general situation and some special situations for such a tensor product immersion are considered by various authors. In this work, we first give a brief description of the general situation. Then, we consider the tensor product of a surface in Euclidean space and a curve in Euclidean plane and we classify minimal, pseudo-umbilical, invariant and anti-invariant such tensor products. We also give a result which states a necessary and sufficient condition for one of the factor of the product manifold to be totally geodesic submanifold of this product manifold. In the next section, we consider the tensor products of a surface in Euclidean space and a nondegenerate curve (with a nondegenerate position vector) in Lorentzian plane. We classify minimal, invariant and anti-invariant such tensor products. We also consider the problem from the viewpoint of affine differential geometry and obtain the following results. Tensor product immersion of two centroaffine hypersurface immersions is an equi-centroaffine immersion if and only if these two immersions are both nondegenerate. If tensor product of two affine planar curves is an immersion, then this immersion gives a purely real 2-surface in R^4.