Bir ayrık yaklaşım yöntemi ile 1-boyutlu Benjamın-Bona-Mahony-Burgers denkleminin çözümü
Küçük Resim Yok
Tarih
2023
Yazarlar
Dergi Başlığı
Dergi ISSN
Cilt Başlığı
Yayıncı
İnönü Üniversitesi
Erişim Hakkı
info:eu-repo/semantics/openAccess
Özet
Bu tezin konusu, küçük genlikli uzun dalgaların nonlineer bir dağılma ortamında yayılımını açıklayan 1-boyutlu lineer olmayan Benjamin-Bona-Mahony-Burgers (BBM-Burgers) denkleminin verilen başlangıç ve sınır şartlarına bağlı yaklaşık nümerik çözümlerinin hesaplanması hakkında olduğundan Bölüm 1'de kısaca denklemin öneminden ve literatürde mevcut olan çalışmalardan bahsedildi. Bu çalışmanın esasını oluşturan Bölüm 2'de model problem olarak göz önüne alınan 1-boyutlu lineer olmayan genel biçimde verilen BBM-Burgers denkleminin uygun başlangıç ve sınır şartlarına bağlı yaklaşık sayısal çözümleri ile birlikte hesaplanan bazı sonuçları vermek için bir sayısal şema sunuldu. Bunun için BBM-Burgers denklemi, önce zamana göre türevler için birinci mertebeden ileri sonlu fark yaklaşımı ve tüm konumsal türevler için standart ikinci mertebeden merkezi fark yaklaşımı kullanılarak Crank-Nicolson tipi yöntemle tamamen ayrıklaştırıldı ve böylece lineer olmayan bir kapalı şema elde edildi. Sonra, kapalı ¸semanın bir direkt yöntemle çözümü amaçlandığından, şemada yer alan doğrusal olmayan terim yerine Rubin-Graves tipi bir lineerleştirme yaklaşımı kullanılarak başlangıç ve sınır değer problemi tri-diagonal matrislerden oluşan ve bir direkt çözüm yöntemi ile doğrudan çözülebilen bir lineer cebirsel denklem sistemine indirgendi. Bölüm 3'te bir önceki bölümde sunulan şemanın doğruluğunu ve etkinliğini kontrol etmek için, ikisi analitik çözüme sahip olan ve biri analitik çözüme sahip olmayan üç deneysel test problem verildi. Bölüm 4'te Bölüm 2'de sunulan şemadan hesaplanan sonuçlar (çözümün noktasal değerleri, L2 ve L? hata normları, şemanın doğruluk mertebeleri ve CPU zamanları) problemde görülen aynı parametre değerleri için literatürde mevcut çalışmaların sonuçlarıyla karşılaştırıldı. Elde edilen yaklaşık sayısal sonuçlardan konum ve zaman adım uzunlukları küçüldükçe sunulan şemanın analitik çözümlere yaklaşan yeterince iyi sonuçlar verdiği ve diğer araştırmacılarınkilerle kabul edilebilir bir uyum içinde olduğu görüldü. Ayrıca kullanımı kolay olan ¸semanın von-Neumann tekniği ile kararlılığı incelendi ve şemanın şartsız kararlı olduğu gösterildi. Son bölüm olan Bölüm 5'te ise kısa bir sonuç ile birlikte ileriki çalışmalardan bahsedildi.
Since the subject of this thesis is the calculation of the approximate numerical solutions of the 1-dimensional non-linear Benjamin-Bona-Mahony-Burgers (BBM-Burgers) equation, which explains the propagation of small amplitude long waves in a nonlinear dispersion medium, depending on the given initial and boundary conditions, in Chapter 1, the importance of the equation is briefly discussed and studies available in the literature are mentioned. In Chapter 2 forming the basis of this study, a numerical scheme is presented to obtain some calculated results together with the approximate numerical solutions depending on the appropriate initial and boundary conditions of the BBM-Burgers equation, which is given in 1-dimensional non-linear general form, which is considered as a model problem. For this, the BBM-Burgers equation is first completely discretized using the Crank-Nicolson type method using the first order forward finite difference approach for time derivatives and the usual second order central difference approach for all spatial derivatives, and thus a nonlinear implicit scheme is obtained. Then, since the solution of the implicit scheme with a direct method is aimed, a Rubin-Graves type linearization approach is used instead of the nonlinear term in the scheme, and the initial and boundary value problem is reduced to a system of linear algebraic equations consisting of tri-diagonal matrices and which can be solved directly by a direct solution method. In Chapter 3, three experimental test problems are given, two with exact solutions and one without an exact solution, to check the accuracy and effectiveness of the scheme presented in the previous section. In Chapter 4 the results (point values of the solution, the error norms L2 and L?, the accuracy orders of the scheme, and CPU times) calculated from the scheme presented in Chapter 2 are compared with the results of the studies available in the literature for the same parameter values seen in the problem. From the approximate numerical results obtained, it is seen that as the spatial and temporal step lengths are decreased, the presented scheme gave good enough results approaching analytical solutions and is in acceptable agreement with those of other researchers. In addition, the stability of the easy-to-use scheme is examined with the von-Neumann technique and it is shown that the scheme is unconditionally stable. In the last chapter, Chapter 5, a brief conclusion and further work are mentioned.
Since the subject of this thesis is the calculation of the approximate numerical solutions of the 1-dimensional non-linear Benjamin-Bona-Mahony-Burgers (BBM-Burgers) equation, which explains the propagation of small amplitude long waves in a nonlinear dispersion medium, depending on the given initial and boundary conditions, in Chapter 1, the importance of the equation is briefly discussed and studies available in the literature are mentioned. In Chapter 2 forming the basis of this study, a numerical scheme is presented to obtain some calculated results together with the approximate numerical solutions depending on the appropriate initial and boundary conditions of the BBM-Burgers equation, which is given in 1-dimensional non-linear general form, which is considered as a model problem. For this, the BBM-Burgers equation is first completely discretized using the Crank-Nicolson type method using the first order forward finite difference approach for time derivatives and the usual second order central difference approach for all spatial derivatives, and thus a nonlinear implicit scheme is obtained. Then, since the solution of the implicit scheme with a direct method is aimed, a Rubin-Graves type linearization approach is used instead of the nonlinear term in the scheme, and the initial and boundary value problem is reduced to a system of linear algebraic equations consisting of tri-diagonal matrices and which can be solved directly by a direct solution method. In Chapter 3, three experimental test problems are given, two with exact solutions and one without an exact solution, to check the accuracy and effectiveness of the scheme presented in the previous section. In Chapter 4 the results (point values of the solution, the error norms L2 and L?, the accuracy orders of the scheme, and CPU times) calculated from the scheme presented in Chapter 2 are compared with the results of the studies available in the literature for the same parameter values seen in the problem. From the approximate numerical results obtained, it is seen that as the spatial and temporal step lengths are decreased, the presented scheme gave good enough results approaching analytical solutions and is in acceptable agreement with those of other researchers. In addition, the stability of the easy-to-use scheme is examined with the von-Neumann technique and it is shown that the scheme is unconditionally stable. In the last chapter, Chapter 5, a brief conclusion and further work are mentioned.
Açıklama
Anahtar Kelimeler
Matematik, Mathematics
