Lineer olmayan fıtzhugh-nagumo kısmi diferansiyel denkleminin bir yaklaşık çözümü
Küçük Resim Yok
Tarih
2025
Yazarlar
Dergi Başlığı
Dergi ISSN
Cilt Başlığı
Yayıncı
İnönü Üniversitesi
Erişim Hakkı
info:eu-repo/semantics/openAccess
Özet
Richtmyer tipi lineerleştirme kullanılarak Crank-Nicolson yöntemi ile başlangıç ve sınır şartları ile verilen 1-boyutlu lineer olmayan standart FitzHugh-Nagumo kısmi diferansiyel denkleminin yaklaşık sayısal çözümlerini bulmayı amaçlayan bu tez çalışması 5 bölüm olarak planlanmıştır. Birinci bölümde nümerik yöntemlerin önemi hakkında kısaca ön bilgi verildikten sonra FitzHugh-Nagumo denkleminin tam ve nümerik çözümleri için literatürde var olan bazı çalışmalardan bahsedildi. İkinci bölümde sonlu farklar yönteminin temel prensipleri verildikten sonra yöntemin matematiksel analizi ile bağlantılı olan lokal kesme hatası, tutarlılık, kararlılık ve yakınsaklık kavramları açıklandı. Bu tezin esasını oluşturan üçüncü bölümde başlangıç-sınır şartlı FitzHugh-Nagumo denklemi ile verilen model problemin Crank-Nicolson tipi lineer sonlu fark şeması nonlineer terimler için Richtmyer tipi lineerleştirme tekniği kullanılarak elde edildi. Dördüncü bölümde şemanın doğruluğu ve güvenirliği ile birlikte teorik beklentileri sağlayıp sağlamadığını göstermek için diğer araştırmacıların çalışmalarında sıklıkla kullandıkları tam çözümü mevcut olan bir test problem ele alındı. Sunulan şemadan elde edilen yaklaşık sayısal çözümlerin tam çözümlere ne kadar yaklaştığını ölçmek için çözümler arasında ki farklarla tanımlanan L?, L? ve LRMS hata normları ile birlikte şemanın yakınsaklık mertebesi hesaplandı. Tezin son bölümü olan beşinci bölüm, sonuç ve önerilere ayrılmıştır.
This thesis, which aims to find approximate numerical solutions of the 1-Dimensional nonlinear standard FitzHugh-Nagumo partial differential equation given with appropriate initial and boundary conditions by the Crank-Nicolson method utilizing Richtmyer type linearization, is planned in five chapters. In the first chapter, after giving a brief introduction about the importance of numerical methods, some existing studies in the literature on the exact and numerical solutions of the FitzHugh-Nagumo equation are mentioned. In the second chapter, after giving the fundamental principles of the finite difference method, the concepts of local truncation error, consistency, stability and convergence which are related to the mathematical analysis of the method are explained. In the third chapter, which forms the basis of this thesis, the Crank-Nicolson type linear finite difference scheme of the model problem given by the FitzHugh-Nagumo equation with initial-boundary conditions is obtained utilizing the Richtmyer type linearization technique for nonlinear terms appearing in the equation. In the fourth chapter, to demonstrate the accuracy and reliability of the scheme, as well as whether it meets theoretical expectations, a test problem with an exact solution, frequently used in the works of other researchers, is considered. To measure how close the approximate numerical solutions obtained from the proposed scheme are to the exact solutions, the convergence order of the scheme is calculated together with the L?, L? and LRMS error norms defined by the differences between the solutions. The fifth chapter, which is the final chapter of the thesis, is devoded to conclusions and recommendations.
This thesis, which aims to find approximate numerical solutions of the 1-Dimensional nonlinear standard FitzHugh-Nagumo partial differential equation given with appropriate initial and boundary conditions by the Crank-Nicolson method utilizing Richtmyer type linearization, is planned in five chapters. In the first chapter, after giving a brief introduction about the importance of numerical methods, some existing studies in the literature on the exact and numerical solutions of the FitzHugh-Nagumo equation are mentioned. In the second chapter, after giving the fundamental principles of the finite difference method, the concepts of local truncation error, consistency, stability and convergence which are related to the mathematical analysis of the method are explained. In the third chapter, which forms the basis of this thesis, the Crank-Nicolson type linear finite difference scheme of the model problem given by the FitzHugh-Nagumo equation with initial-boundary conditions is obtained utilizing the Richtmyer type linearization technique for nonlinear terms appearing in the equation. In the fourth chapter, to demonstrate the accuracy and reliability of the scheme, as well as whether it meets theoretical expectations, a test problem with an exact solution, frequently used in the works of other researchers, is considered. To measure how close the approximate numerical solutions obtained from the proposed scheme are to the exact solutions, the convergence order of the scheme is calculated together with the L?, L? and LRMS error norms defined by the differences between the solutions. The fifth chapter, which is the final chapter of the thesis, is devoded to conclusions and recommendations.
Açıklama
Anahtar Kelimeler
Matematik, Mathematics
